散光度數可依空間維度再細分為兩個向量 J0 及 J45。則-2.75DS/+1.50DC×010 鏡片的 J0 及 J45 的值分別為何？

本題考點

散光的功率向量分解，把柱鏡度數 C 與軸度 α 換成兩個互相獨立的分量 J0 = −(C/2)cos2α、J45 = −(C/2)sin2α，並利用「兩分量的平方和只取決於柱鏡度數」來核對選項。

正解理由

柱鏡在各條經線上的度數隨角度呈「兩倍角」的週期變化，因此功率向量把它投影到「水平與垂直子午線這一組」(J0)與「兩條斜向子午線這一組」(J45)兩個獨立方向上，兩者都要先把軸度乘以二再取餘弦或正弦。本題處方 −2.75DS/+1.50DC×010，參考系是處方本身的軸度記法：柱鏡 C = +1.50 D、軸 α 在 10°，兩倍角 2 × 10 = 20°，半柱鏡 1.50/2 = 0.75 D。

因為兩倍角是很小的角度，餘弦分量大、正弦分量小，所以 J0 的絕對值必然明顯大於 J45；又因為 C 為正、兩倍角的餘弦與正弦都為正，公式前的負號使兩個分量都是負值。再進一步，因為同一角度的餘弦平方加正弦平方不隨角度改變，所以兩分量的平方和只取決於柱鏡度數、與軸向無關：J0 × J0 + J45 × J45 必須等於 (C/2) × (C/2) = 0.75 × 0.75 = 0.5625。代入選項 A：0.705 × 0.705 + 0.257 × 0.257 = 0.5631，與 0.5625 吻合；

再以 J45 = −0.257 回推，−(0.5625 − 0.257 × 0.257)/0.705 = −0.705，與選項的 J0 自洽。至於題幹的球鏡 −2.75 D，它只進入等價球面 M = S + C/2 = −2.75 + 0.75 = −2.00 D，J0、J45 的公式裡沒有球鏡項，所以它不影響本題的兩個分量。故選 A。

逐項排除

1. (A)

   正確。J0 = −0.705、J45 = −0.257：兩值同為負、J0 絕對值大於 J45，平方和 0.5631 與 (C/2) 的平方 0.5625 相符，正是 +1.50DC×010 的功率向量。

2. (B)

   錯誤。0.628 × 0.628 + 0.287 × 0.287 = 0.4768，小於 0.5625，表示這組分量對應的柱鏡比 +1.50 D 弱，向量長度不符；本處方應為 J0 = −0.705、J45 = −0.257。

3. (C)

   錯誤。0.809 × 0.809 + 0.311 × 0.311 = 0.7512，大於 0.5625，表示這組分量對應的柱鏡比 +1.50 D 強，向量長度不符；正確值應為 J0 = −0.705、J45 = −0.257。

4. (D)

   錯誤。0.645 × 0.645 + 0.264 × 0.264 = 0.4857，小於 0.5625，向量長度不足，與 +1.50 D 的柱鏡不相容；正確值應為 J0 = −0.705、J45 = −0.257。

記憶點